為什麼要做一個好人

我從小聽過許多待人接物的道理，比誠實、善良、謙遜、公平，無論是長輩親友還是報章書本都提倡這些行為，並賦予它們很高的價值。以前我不知道為什麼這樣就是好的，甚至連這份懵懂也沒有意識到，唯一讓我牢牢記住的就是只要遵循這些教條就能得到讚美。
　　
我不是模範生，也不是好人好事代表，自私、易怒、驕傲、歧視、虛偽、說謊、惡語之類的缺點沒有在我身上缺席。可是小時候我不知道要改，只覺得在某些人面前應該避免顯露這些東西，特別是面對那些對我有管教權力的人。我在書上看到「善待他人，才能讓自己被善待。」隱約覺得有道理，卻不太清楚。
　　
我開始注意他人行為所引起的反饋，同時也調整自己的行為當作實驗，我發現人大多時候就是一台模仿機器；一個人受到什麼樣的對待會決定他用什麼樣的方式去反應，而且兩者通常是同類型的。如果這個人受到某種固定模式持續對待，他的反應也會越來越趨近這種模式。漸漸的他會產生慣性，最後這個模式就成為他個性的一部份。
　　
我們簡單地將上述的現象稱作反射作用，目前我所瞭解、造成反射作用的原因不外乎模仿學習、平等意識、認同壓力。首先，模仿學習在人的成長歷程可以明顯觀察到。小孩子對人際交往的方式是懵懂無知的，只能透過不斷模仿身邊的人來融入社會，父母自然是他的第一個學習對象，影響深遠。一直到青少年時期他才會將注意力轉移到同儕身上。
　　
父母對待小孩、對待他人的方式理所當然成為小孩學習的範本。如果父母長時間演示負面行為、甚至把它們施加在兒女身上，有一天兒女也會以某種形式將這些負面行為、負面情緒傾倒回去給父母和別人。姑且不去深究這樣的反射作用是否存在更深一層的原因，最基本的，這種行為模式是他自小觀摩並且習慣的，他幾乎是被迫以這樣的方式去對待世界。
　　
第二，平等意識。通常人在獲得好處的時候很少會生起平等意識，可是一旦蒙受損失就會特別計較。這是因為人對所有物的損失懷抱著異常的反感，是一種叫作捐贈效應的現象。
　　
比如看到朋友拿著一支iPhone走過來時不小心跌倒把它摔壞了，很可能我們第一個的反應不是難過而是哈哈大笑。這時候，如果朋友說那支手機本來是要送給我們的生日禮物，我們的心情會立刻降到谷底。這就是捐贈效應，經濟學把這種現象稱為損失厭惡。
　　
當我們將自私、易怒、驕傲、歧視、虛偽、說謊、惡語、物化等負面行為施加在他人身上時，總括來說就是造成對方的某種損失。這些損失可以是生理或心理方面的，也可以是物質方面的。蒙受損失會造人們內心的缺憾，必須藉由一定的補償來平復，所以會產生報復心理；只有完成了平等的報復，人心的缺憾才會彌平。
　　
作為反射作用的動機，平等意識主要在我們承受負面行為的時候產生。它所繁衍的各種怨恨與報復可能會壓抑良久，但伺機而動，像一顆長了眼睛的炸彈。這些心理上的埋怨與憎恨不只渴望補償，而且要求平等，有時甚至隨著時間滋生利息。
　　
我們可以透過一個例子進一步瞭解報復的平等與否：為什麼命案受害者家屬往往無法藉由血債血還的方式來平復傷口，但旁觀者卻能夠因此感到滿足？這是因為對受害者家屬來說兇手的性命遠遠比不上被害人來得有價值；親人的生命和陌生人的生命是不會等價的。可是對旁觀者來說被害人與加害人都是陌生人，差異不大，一命抵一命已經足夠平復他們的心理。
　　
第三，認同壓力。這是一種消極性的限制，而非積極性的動機。我們善待他人的時候都期待得到對方善意的回應，這種期待會同時來自當事人與旁觀者，形成一種社會壓力；因而越是在公開場合，我們越難拒絕、或者拂逆別人的好意。大眾的期待會迫使我們遵循以善還善的法則，以取得到群眾認同、維持人際關係。
　　
雖然不是每一個善意都能保證對等的回應，然而反射作用多少總結了人際互動的常態，說明了善待他人的理由。從經濟上考量，善待他人的投資報酬率很不穩定，但反過來看，我們卻沒有更好的選擇。因為人們遭受負面行為時只有三種選擇：反擊、當一個聖人、當一個傻瓜。如果這個世界遵守常態分布，聖人跟傻瓜就是鐘形曲線兩端的稀有動物；也就是說負面行為最有可能帶來的後果就是他人的反擊。
　　
情況就是這樣，善待他人不一定有好的結果，損害他人卻很難避免反擊。
　　
獲得他人善意相待之前、我們必須先善待他人，原因我想不外如此。說起來所謂美德、所謂己所不欲勿施於人的原則一直存在，並非因為它們有多崇高，而是我們需要它們。這些原則說明了如何創造一些理由與動機讓別人善待我們，它們是美好生活的必要條件。

如何念好數學（3）

數學不僅對學生要求嚴苛，對老師同樣要求嚴苛。

數學老師的第一個工作是詳細的解釋定義並且推導定理，然後要循序漸進、安排大量習題餵給學生，這是很容易被忽略的一步。前面已經說過念好數學的原則之一就是演算大量習題，但習題有難有易，學生沒有能力判別、容易耗費大量時間卻毫無斬獲；必須仰賴老師將習題分類整理。

難度參差不一的習題適合安排在總複習階段，一開始應該由淺入深。每個學生資質不同，需要的練習量也不同，在規定繳交的作業之外，老師最好準備額外的習題讓學生能夠自由演練。習題數量依照難度由淺到深應該是由多至寡，這樣可以幫助學生打穩基礎、奠定信心、提高興趣。

念數學如果遇到不合適的老師應該趕快自救。如果是教材內容需要重新講解，應該找補習班；如果要提升解題能力，應該要求家教老師編排習題；習題的檢討可以求助家教或同學，最好的方式是同學間組一個團隊共同研討，團隊合作的滋味與效果不是單打獨鬥可以比擬的。研討習題時應該盡力瞭解所有算式的意義和意圖，不只為了學習效果，也為了能在精神正常的狀態下完成學業。

以上是研讀數學應注意並且能努力的幾個要點，雖然做到這些不能保證成為數學明星，但要應付國高中學數學是足夠的。

能夠一路從國小、國中、高中保持優秀數學成績的朋友都很努力，也很幸運。顯然他們的資質沒有問題、也很用功，而且應該都遇到不錯的老師。出色的成績得來不易，需要諸多條件的配合。對於這些朋友，我最後的建議是大學不要輕易選讀數學系。

大學以前的數學課程著重計算，但四年的數學系幾乎都在教導證明、練習證明，兩者的差別太大了。除了古典平面幾何，大學以前的教育內容並未在證明上有所著墨，一般人對證明的瞭解很少。如果真的對數學感興趣，除了可以從數學系的教科書著手，也可以回想國中學習平面幾何的感想，藉此評估是否適合讀數學系。

研讀證明跟操作計算有很大的差異，所需要的能力也不一樣。精於計算的學生不一定能夠駕馭證明；無論一個中學生對計算多麼熟練，到了數學系仍要重新訓練證明能力。當然更重要的是，一個人對計算的興趣和對證明的興趣常常是不等同的。

數學系課程難度高，成績不容易拉抬，轉系的機會渺茫。誤入數學系的人如果不是咬牙撐到畢業然後終生痛恨數學，就是狠下心重考。任何對數學系有興趣或者自認為適合念數學系的學生都應該謹慎考慮。

能夠愉快念完數學系、甚至攻讀研究所的朋友令人羨慕。和人類其他知識領域相比，數學是一個特別的存在，它完全建立在定義和邏輯之上，是一種特別單純的遊戲。人類大部分的知識領域都是真實世界的反映，無論經過多麼曲折的發展歷程，它們最後都依存在真實世界的現象底下。如果這個世界不存在，人類大部分的知識領域都不復存在，或者失去意義。

但數學不是。數學獨立於真實世界之外，它只關心定義和邏輯，也只受制於定義和邏輯；數學規則可以和真實世界的規則有所對應，也可以毫無關聯。邏輯是數學裡唯一的法則，但真實世界的法則並不只有邏輯。真實世界的法則有時候會被推翻，數學定理經過證明就永遠不變。

人類的知識領域常常隨著時代、文化、環境的不同而不同；但數學不是，無論何時何地，無論什麼語言，數學對每個人來說都是那個模樣、使用同一套規則。在數學面前，人們只有已知與未知、瞭解與不瞭解，沒有認同與不認同。這個世界需要數學，但數學不需要這個世界，它活在自己的宇宙。

數學活在自己的宇宙，而人類就是那個蟲洞。

如何念好數學（2）

考數學的時候常有一種狀況，就是之前練過的題型會寫，沒練過的就不會寫了。其實本來就是這樣的，任何人面對任何挑戰都有同樣的問題，只不過一學就會、舉一反三的目標被過分強調了，讓人以為那是普遍標準。事實上我們能做的就只是努力練習而已：一種題型不夠熟練，就反覆練習該題型；會寫的題型太少，就大量練習不同的題型。就算是練武奇才，也不見得在學會亢龍有悔之後能夠自動學會飛龍在天；一個招式一回事。
　　
Youtube有不少影片記錄了周杰倫二鍵創作、三鍵創作的神技：隨便一個人在鋼琴上隨便按兩個音或三個音，周杰倫就從這幾個音開始作出一段曲子。要練到這個地步，首先必須熟練大量的和弦，直到這些和弦成為可以自由使用的語言，讓人可以直接用這些和弦來思考。就像一個人英文很好，可以直接用英文思考，不必先想中文、再翻成英文。
　　
當一個人具備這些基本功，隨便給幾個音，他很快就能想到接上什麼和弦比較順、比較好聽。腦中塞滿大量可用的和弦是提升創作能力的第一步，至於能用這些和弦寫出什麼樣的歌曲，那是天分決定的。
　　
有時我們說勤能補拙，有時我們說熟能生巧，其實講的是同一件事。甚至可以把勤能補拙給丟了，因為事實上沒什麼拙好補的，起跑點的差異不表示我們把能力捕到什麼地步就好了。補到任何地步都不是終點，生命是不斷進步的過程。
　　
回頭看理解數學的部份。
　　
瞭解每一條數學規則的來龍去脈是第一步，做題目時要掌握每個公式、每個定理套用的時機和限制，同時要了解自己寫下的算式有什麼用意與目的。要特別注意的是所有的記誦都被允許，但應該在充分理解的基礎上。其實練題型、練速解就是在練一種套路，目的是節省時間和力氣、應付考試，但為了不讓這些東西成為往後學習的阻礙，必須先經過消化和理解。
　　
為什麼沒有很好地理解教材內容會阻礙後續的學習？這和人們記憶事物的方式有關。
　　
人們學習和記憶的速度取決於未知事物和已知事物的關聯，關聯越強、學得越快、記得越久。因此比較好的學習方式是將新東西和舊東西拉上關係，邏輯在這方面是很強大的工具。
　　
這聽起來很奇怪，但我們一定都體驗到：生活中越有規律、越有道理的事情記得越快、越久。比如現要在把下面兩句話背起來：「艾思都一個活生生凸肚子大叔了還老是說自己帥」、「艾都個生凸子叔還是自帥思一活生肚大了老說己」。顯然前一句比後一句好記多了，雖然它們用的字完全一樣。這是因為我們很容易把前一句話中的幾個字挑出來形成一個詞彙，而這些詞彙跟我們腦中已知訊息能夠連結，所以特別容易記憶。
　　
同樣地，為了能夠更快、更久地記住數學公式和定理，我們必須不斷借助邏輯和腦中既有的數學知識。邏輯其實就是一套少量的規則，我們是藉由這些少量的規則去理解和記憶更多的規則。學習國高中數學這種離生活經驗較遠的科目一定要用到邏輯。沒有邏輯的幫助，所有的定理和公式都變成獨立存在的東西、跟任何事物都沒有關聯，要它們硬記在腦中是非常困難的。這和背單字要拆解字根是一樣的道理，都是為了用少量知識帶動多量知識、提高學習效果。
　　
所以，持續兼顧理解與記憶才能把數學念好，只理解不練功、只背誦不理解都是偏廢，很快就會走不下去。這些原則套用在其他科目都是一樣的，但是數學所要求的標準比較高。雖然每個人的學習條件不一樣，但是都能使用這些原則檢查自己的學習狀況，隨時調整。
　　
總之，念數學一開始要理解並且熟記定義，接下來是看清楚定理的推導和結論，最後是反覆做題、操作定理。在研讀數學這件事情上自身能做的努力大概就是這些了，然而每個人的資質不一、學習速度也不盡相同，如果無法維持穩定的數學成績，便只能倚靠外力協助。

如何念好數學（1）

這幾年身邊有小孩子的朋友越來越多了，見面聊天的話題也開始跟小孩有關，我常被問的一個問題就是怎樣才能把數學念好。
　　
小時候我數學挺差的，上高中第一次段考數學只拿了40分，當時老爸看到考卷一臉絕望的表情我現在還記得。後來上了大學，第一次期中考微積分好像也是30分，考試前一晚熬夜苦讀換來這種熬夜打電動的分數，立刻成為班上同學流傳的笑料。我以為微積分大概要被當了，所以很後悔沒有在考試的前前一晚就開始熬夜。
　　
其實我的數學成績變成這副德性不是因為數學很難，也不是天分不夠，是我對數學的基本認知一直以來都是錯的。不知道是哪個人起頭的，從小我身邊的親友長輩嘴裡就一直掛著「數學需要天分」的咒語。天真如我一直信奉咒語直到大學才發現它幾乎從頭到膝蓋都錯了，之所以保留了膝蓋以下沒錯是因為這咒語是一句廢話；學什麼東西不需要天分？
　　
咒語讓我誤以為把數學念好需要驚人的天分，不是這樣的。其實要把大學以前的數學念好不會太困難，但要有一些基本概念，才不會傻得以為數學只能是天才的娛樂。
　　
學任何東西都得由簡單的觀念著手，老師會介紹什麼是正整數、什麼是負數、什麼是分數、什麼小數等等；接下來帶入一些簡單的運算規則，正整數的加減乘除、負數的加減乘除、分數的加減乘除、小數的加減乘除。國小數學主要就這些內容。數學規則當然會越來越複雜，到一定程度以後就形成一套理論。
　　
理解簡單的計算規則並不困難，如果一個人知道馬力歐吃蘑菇會變大隻、吃鐵花可以射子彈、子彈打到敵人會死掉，他就可以理解數學規則。聽懂規則之後的下一步特別重要，就是把規則背起來。
　　
如果有人一直宣傳數學要靠理解、不要背誦，要不是他一時糊塗講錯了，就是他不懂數學。其實學任何東西都是理解與記憶並重，如果有人聽完一件事之後馬上就能運用，那是他記得快，而不是沒有記。記憶的快慢才是天賦真正拉開差距的部分。
　　
記憶數學規則的方式就是反覆操作、練習計算，而不是把規則拿起來朗誦，所以念好數學其中一道步驟是演算大量習題。這不是說「朗誦」無助於記憶，而是它並非數學的目標；如果我們是要參加數學規則朗誦比賽，那可以透過反覆朗誦來記憶。但就像學習樂器或者武術，一直朗誦樂譜和武功秘笈無助於目標，反覆練習的內容跟實際操作的內容要越接近越好。
　　
不管學習什麼科目，熟記規則都至關重要，尤其因為數學本身的特性，對熟記規則的要求會更高。
　　
數學領域是由一條一條邏輯鍊架構起來的，不同的邏輯鍊可能會在某一點相交，所以不同的數學子領域會有彼此相關的時候。然而，我們學習數學必定是由某一條邏輯鍊的某一點出發、一步一步往前走，這表示念數學的時候如果在某一點卡住，除了想辦法克服眼前障礙就沒有別的路可以走了。這是念數學最大的困難之一。
　　
比如質因數分解會用到乘法和除法運算，想要學習質因數分解除了把乘除法運算練熟以外，沒有第二條路。無論一個人多麼了解所謂的乘法就是連續加法、所謂的除法就是連續減法，只要他的乘法和除法不夠熟，就無法學習質因數分解。從這裡就可以清楚看到為什麼熟練運算規則對數學很重要。
　　
其他科目比較少有這樣嚴苛的要求。像是國文，這篇文章看不懂不妨礙另一篇文章的閱讀，甚至將課本裡幾篇文章跳過不讀，要考試及格也是可以的。但數學不行，這是為什麼數學很難補救的原因；一定要想辦法克服原本那個障礙，無法繞路。