如何念好數學（3）

數學不僅對學生要求嚴苛，對老師同樣要求嚴苛。

數學老師的第一個工作是詳細的解釋定義並且推導定理，然後要循序漸進、安排大量習題餵給學生，這是很容易被忽略的一步。前面已經說過念好數學的原則之一就是演算大量習題，但習題有難有易，學生沒有能力判別、容易耗費大量時間卻毫無斬獲；必須仰賴老師將習題分類整理。

難度參差不一的習題適合安排在總複習階段，一開始應該由淺入深。每個學生資質不同，需要的練習量也不同，在規定繳交的作業之外，老師最好準備額外的習題讓學生能夠自由演練。習題數量依照難度由淺到深應該是由多至寡，這樣可以幫助學生打穩基礎、奠定信心、提高興趣。

念數學如果遇到不合適的老師應該趕快自救。如果是教材內容需要重新講解，應該找補習班；如果要提升解題能力，應該要求家教老師編排習題；習題的檢討可以求助家教或同學，最好的方式是同學間組一個團隊共同研討，團隊合作的滋味與效果不是單打獨鬥可以比擬的。研討習題時應該盡力瞭解所有算式的意義和意圖，不只為了學習效果，也為了能在精神正常的狀態下完成學業。

以上是研讀數學應注意並且能努力的幾個要點，雖然做到這些不能保證成為數學明星，但要應付國高中學數學是足夠的。

能夠一路從國小、國中、高中保持優秀數學成績的朋友都很努力，也很幸運。顯然他們的資質沒有問題、也很用功，而且應該都遇到不錯的老師。出色的成績得來不易，需要諸多條件的配合。對於這些朋友，我最後的建議是大學不要輕易選讀數學系。

大學以前的數學課程著重計算，但四年的數學系幾乎都在教導證明、練習證明，兩者的差別太大了。除了古典平面幾何，大學以前的教育內容並未在證明上有所著墨，一般人對證明的瞭解很少。如果真的對數學感興趣，除了可以從數學系的教科書著手，也可以回想國中學習平面幾何的感想，藉此評估是否適合讀數學系。

研讀證明跟操作計算有很大的差異，所需要的能力也不一樣。精於計算的學生不一定能夠駕馭證明；無論一個中學生對計算多麼熟練，到了數學系仍要重新訓練證明能力。當然更重要的是，一個人對計算的興趣和對證明的興趣常常是不等同的。

數學系課程難度高，成績不容易拉抬，轉系的機會渺茫。誤入數學系的人如果不是咬牙撐到畢業然後終生痛恨數學，就是狠下心重考。任何對數學系有興趣或者自認為適合念數學系的學生都應該謹慎考慮。

能夠愉快念完數學系、甚至攻讀研究所的朋友令人羨慕。和人類其他知識領域相比，數學是一個特別的存在，它完全建立在定義和邏輯之上，是一種特別單純的遊戲。人類大部分的知識領域都是真實世界的反映，無論經過多麼曲折的發展歷程，它們最後都依存在真實世界的現象底下。如果這個世界不存在，人類大部分的知識領域都不復存在，或者失去意義。

但數學不是。數學獨立於真實世界之外，它只關心定義和邏輯，也只受制於定義和邏輯；數學規則可以和真實世界的規則有所對應，也可以毫無關聯。邏輯是數學裡唯一的法則，但真實世界的法則並不只有邏輯。真實世界的法則有時候會被推翻，數學定理經過證明就永遠不變。

人類的知識領域常常隨著時代、文化、環境的不同而不同；但數學不是，無論何時何地，無論什麼語言，數學對每個人來說都是那個模樣、使用同一套規則。在數學面前，人們只有已知與未知、瞭解與不瞭解，沒有認同與不認同。這個世界需要數學，但數學不需要這個世界，它活在自己的宇宙。

數學活在自己的宇宙，而人類就是那個蟲洞。