代數（1）

對理工科系的學生來說，代數已經成為一種母語，是一種可以直接用來思考而不需要轉換的語言；對任何一位唸過中學數學的人來說，「x」也是司空見慣的符號。代數很重要，如果你跟我一樣不是特別聰明，代數就是我們數學上的救星。
　　
同樣一道題目，能夠不用代數解題的學生是比較有天賦的。這可以從一些簡單的數學題目看出來，例如一道典型的雞兔同籠問題：已知籠子裡的雞加上兔子總數為一百隻，雞腳加上兔腳的總數是248隻，請問雞和兔子各有幾隻？
　　
國小剛學習解這一題的時候並不會使用代數，所以要另外想一個聰明的方法。通常老師就會這樣教我們：先考慮籠子裡全部都是兔子的情況，那總共會有400隻腳，但這比題目給的數目多，所以一定沒有這麼多隻兔子。如果把一隻兔子換成一隻雞，腳的數目會少兩隻。因為400隻腳比題目的248隻腳多出152隻，所以要想辦法換掉這152隻腳；也就是要把152/2 = 76隻兔子換成雞。因此籠子裡面除了有76隻雞，還有100 - 76 = 24隻兔子。
　　
這個方法雖然聰明，但也有些複雜。如果做不到這種分析思路，我們也可以利用列表的方式慢慢找出答案。
　　
一樣先從籠子裡有100隻兔子開始，此時總共有400隻腳。那麼99隻兔子和1隻雞總共會有99 × 4 + 1 × 2 = 398隻腳；98隻兔子和2隻雞總共會有98 × 4 + 2 × 2 = 396隻腳……就這樣一直列，一直列，直到列出24隻兔子和76隻雞總共會有248隻腳。我們就知道籠子裡應該有24隻兔子和76隻雞。
　　
列表雖然比較沒有效率，但在研究複雜問題時想不出辦法是稀鬆平常的，土法煉鋼的現象反而很普遍。很多漂亮的解法其實都是從笨拙的嘗試中整理歸納出來的。
　　
如果把代數用在雞兔同籠問題上，難度會降低很多。先用x代表雞的數目，用y代表兔子的數目，依照題意直觀地列出方程式，接著就能解題。像上面那一題，我們可以列出兩個方程式：x + y = 100，2x + 4y = 248。接下來經過簡單的加減乘除就能解出x和y。不用複雜的分析，不用辛苦的列表。
　　
而且列方程式顯然不費力氣，只是把中文題目用數學語言再寫一遍而已。後面求解方程式的過程也不會用到什麼技巧，每個中學生只要受過一點訓練就能自行求解大量的類似題。只要會用代數，解這種題目就等同數學翻譯和四則運算的作業，十分機械化。但也就是因為機械化，才能讓很多人學會。
　　
就算我們數學天分不夠、不能想出聰明的解法，藉由代數方程還是可以解決很多問題。已經習慣用代數解題的人只要試著用其他方法去解相同的問題，就能體會代數究竟是怎樣的一把利器。
　　
一開始人類只會計算數字，代數的出現把我們引領到符號運算的新世界。雖然用數字思考遠比符號來得自然而且直觀，而且其中的思維轉換也不是一朝可成，但從現今代數無處不在的情況來看，這一點代價畢竟是值得的。
　　
代數領域的一個重要工作是求解各種方程式。Cardano在1545年出版的《大術》裡記載了三次方程和四次方程的解法，只用到四則運算以及開根號。Cardano甚至列出了二、三、四次方程的公式解，也就是解析解。其中三次方程的研究成果還牽扯到了Tartaglia與一干人等，這筆數學史上的爛帳讓Cardano和Tartaglia兩人的冤仇至死未消。當然，這裡面一元二次方程式ax^2 + bx + c = 0的解析解是所有現代人的必學課程。
　　
解析解是求解多項式方程的第一目標，因為它具有「通解」的性質。就像二次方程公式解可以由a、b、c三個代數經過有限次四則運算與開根號來表示。這種公式解告訴我們三件事：第一，不管方程式的係數為何，它的解都可以用一樣的公式來計算。第二，解析解是精確解，沒有經過任何近似。當我們需要拿這個解進行更多計算和推導時，它比數值解或近似解有用太多了。
　　
第三，解析解是完美落地，是完全戰勝一個方程式的勳章，是自我實力的證明。任何一個被迫求取數值解或近似解的人，必定能夠明白無法取得解析解的哀愁。
　　
我始終覺得公式解是一個很能表現數學理論強大威力的例子。從這裡可以看出數學定理如何大幅簡化問題、讓人們可以把時間和心力放在其他地方、完成更多重要的工作。公式解的出現實現了無腦求解方程式的美夢，可惜這個夢沒有一直延續下去。1824年，Abel繼Ruffini之後發表了一篇論文，證明五次以上的多項式方程沒有解析解。
　　
當然這不是說高次方程沒有解，解還是存在，只是它無法像低次方程那樣、透過一個固定的程序、用有限次四則運算以及開根號求得。在研究高次方程求解的過程中Abel和Galois也各自發展出群論。群論作為抽象代數的發韌，讓代數演進自此又往前了一大步。