代數（2）

代數在19世紀發展出幾個大的子領域：例如線性方程組的研究導致了線性代數，群論的出現導致了抽象代數，這些領域也配合矩陣概念的提出一時並進。而以前用符號代表簡單數字的代數理論，可以視為初等代數。

不過，晚近代數的運用已經跨足到其他學門。我們看符號x一路下來不僅扮演過數字、函數、矩陣，如今也堂堂支撐起邏輯命題。同樣在19世紀，Boole將代數引入邏輯推演中，直到今天，代數已經是邏輯論證時不可或缺的重要工具。

以下用一個簡單的問題來看代數在哲學推論中扮演的角色：

小明去找主管請假，主管問小明是否身體不適。小明回答說：「今天特別想你，所以要請病假，因為思念是一種病。」

我們可以用符號運算重寫小明提出的論證，首先定義符號：

　　P：思念是一種病。
　　Q：小明思念主管。
　　R：小明生病。
　　S：主管應該給小明請病假。
　　P ∧ Q：思念是一種病而且小明思念主管。
　　（P ∧ Q） → R：如果思念是一種病而且小明思念主管，那麼小明就生病了。
　　R → S：如果小明生病，主管就應該給小明請病假。

其中「∧」表示而且。「P → Q」是一個條件句，表示「如果P成立，則Q成立。」

這裡要小心的是，「已知P → Q」代表已知一個條件，不代表P就發生。比如說：已知「如果現在時間是下午三點半，康德先生就會出門散步。」這是一個條件句，我們可能是根據康德先生過去十年的作息得知這個規律，但不代表現在就是下午三點半。

上面的論證可以重新寫為：

　　推論步驟　　　　　　使用的推論規則
　　1. P　　　　　　　　（前提，不須推論）
　　2. Q　　　　　　　　（前提，不須推論）
　　3. （P ∧ Q） → R　　（前提，不須推論）
　　4. R → S　　　　　　（前提，不須推論）
　　5. P ∧ Q　　　　　　　1，2 ADJ（由1、2以及ADJ規則可得5）
　　6. 所以R　　　　　　　3，5 MP（由3、5以及MP規則可得6）
　　7. 所以S　　　　　　　4，6 MP（結論）

其中ADJ是一種推理規則，代表結合律。用法是：已知P為真而且已知Q為真，利用ADJ規則可得P ∧ Q為真。MP也是一種推理規則，用法是：已知P → Q為真而且已知P為真，利用MP規則可得Q為真。

這是一個有效論證，意思是說如果上述的前提都成立，結論就會成立；因為我們確保了推論過程的邏輯沒有錯誤。而且，如果把P、Q、R、S等命題換成其他真實的內容，論證依然成立。這就是符號運算的好處：一旦論證建立，抽換命題也不影響論證的正確性。

由這個例子可以發現，代數讓推論過程變得非常簡潔而且公式化。使用代數讓人們不會在複雜冗長的語句之中迷失，只要像操作數學計算那樣依照各種邏輯規則進行推論，就可以得到結論。而且可以更清楚地看到各個命題之間如何因為一步一步的推論連結起來。

不過，顯然上面的例子並沒有給出真實的結論，但應該是一個真實的告白。