擲銅板

最近看到一篇文章討論擲銅板的機率，給出了很有趣的結論。一般我們想到擲銅板，不論擲多少次，都會認為連續正面或反面的情況比較罕見，這是直覺。就像擲骰子連續出現特定點數的情況一樣。

假設有兩個擲銅板30次的結果如下：

（１）正反正正反正反反正反正反反反正正反正正反正反正正反正反反正正

（２）反反反反正正反正反反正反正反反反正正正正正反正正反正反正正反

在結果（１）中很少有連續正反面的情況，頂多出現一次「反反反」。大部分是連續兩次正面或連續兩次反面，或者不連續。但在結果（２）中，開頭就是連續4次反面，甚至還出現連續5次正面的情況。若說這其中有一個是作弊的結果，大多數人都會認為結果（２）是作弊。但根據該教授的說法，結果（１）作弊的可能性比較大。也就是說，擲銅板出現連續正面或反面的機率其實比想像中高很多。

我們來看看他是怎麼論證的。

首先，擲一枚銅板不管出現正面還是反面，機率都是1/2。如果要連續出現r次正面或者反面，機率則是(1/2)×(1/2)×……×(1/2)×(1/2)=(1/2)^r，二分之一的r次方。

投擲n次時，隨時都有可能出現連續正反面，每一次擲銅板都可能是連續正反面的起始點，除了最後幾個投擲點以外。就像上面列出的結果（２），第一個投擲點是連續4次反面的起點，第17個投擲點是連續5次正面的起點。當然，第27個投擲點以後不能作為連續5次正反面的起點。因此，在投擲n次的情況裡，有n −r+1個投擲點可作為連續正反面的起點。

附帶一提，這裡隱含了n≥r的假設，因為討論n < r是沒有意義的。再考慮到你可能是擲出一串連續的正面，但也可能是擲出一串連續的反面，這兩種狀況都是我們要的，所以整個機率要乘上兩倍。最後得出「投擲n次銅板裡出現連續r次正反面的機率」是P=2×(n −r+1)×(1/2)^r。這個公式出乎意料地簡單。

如果把n=15、r=5代入，可以得到P=68.75%。在投擲15次銅板的情況裡，有將近七成的機率會出現連續5次正反面，這是很有趣的結論。如此說來，應該拿起銅板隨便丟都能丟出一串連續正反面，但在我的記憶中沒有出現過這樣的事。這麼高的機率不僅違反直覺，也顛覆了日常生活的經驗。

其實這個結論是錯的。

從兩個地方很快可以看出不合理。首先，當我們令P=1，可以解出n=r−1+2^(r−1)。反過來說，對於任何的r，都可以找到一個n使得P=1。例如當r=5，如果n=20，將之代入上面的機率公式就可以得到P=1。這表示只要擲銅板20次，一定會出現連續5次正反面。

這太詭異了。擲銅板是一種隨機過程，一個隨機過程怎麼會有「必然」的結果呢？如果你夠敏銳，應該要對這個推論感到十分驚訝，並相信箇中必有蹊翹。

更進一步，如果像一開始那樣擲銅板30次，出現連續5次正反面的機率會是多少？用該上面的公式可以算出P=1.65，這是一個超過100%的機率。我們知道機率一定是小於等於1，所謂的「百分之三百」只是一種誇大其辭的講法，沒有真實的意義。這是第二個不合理。

要直接證明這個公式錯誤也很簡單，用暴力法找出反例即可。這不會花太多時間，就擲銅板來說，擲3次的所有可能結果只有8種，擲4次的所有可能結果是16種。把這些狀況列出來，直接計算機率，就可以發現和公式給出的結果不符。

其實把上面的計算忘掉，用機率概論學到的基本方法老實去算，還是可以得到正確的機率公式。

我算出來是P=a/b，其中a=−1+2^(n−r+1)、b=2^(n−1)。這個結果稍微有點複雜，但還可以。這個公式不會有必然性結論，也不會給出超過1的機率，看起來好多了。而且用這個公式計算擲銅板30次、出現連續5次正反面的機率只有12.5%。挺低的，很合理。當然，你同樣可以舉一些n比較小的例子來驗證它的正確性，如果你擔心再被耍一次的話。

雖然這個教授的算法很聰明，也很簡單，可惜他漏掉了一些東西。問題出在各起始點所造成的連續正反面沒有被當成互斥事件。意思是說，第一個投擲點作為連續正反面起點的情況，與其他投擲點做為起點的情況有重疊，要避免重複計算。也就是說不能直接套用P(A∪B)=P(A)+P(B)，因為P(A∩B)不為零。

搞到最後白歡喜一場，半點神奇的事情也沒有發生，我還以為冒出了有趣的新發現。失落。