擲銅板

最近看到一篇文章討論擲銅板的機率，給出了很有趣的結論。一般我們想到擲銅板，不論擲多少次，都會認為連續正面或反面的情況比較罕見，這是直覺。就像擲骰子連續出現特定點數的情況一樣。

假設有兩個擲銅板30次的結果如下：

（１）正反正正反正反反正反正反反反正正反正正反正反正正反正反反正正

（２）反反反反正正反正反反正反正反反反正正正正正反正正反正反正正反

在結果（１）中很少有連續正反面的情況，頂多出現一次「反反反」。大部分是連續兩次正面或連續兩次反面，或者不連續。但在結果（２）中，開頭就是連續4次反面，甚至還出現連續5次正面的情況。若說這其中有一個是作弊的結果，大多數人都會認為結果（２）是作弊。但根據該教授的說法，結果（１）作弊的可能性比較大。也就是說，擲銅板出現連續正面或反面的機率其實比想像中高很多。

我們來看看他是怎麼論證的。

首先，擲一枚銅板不管出現正面還是反面，機率都是1/2。如果要連續出現r次正面或者反面，機率則是(1/2)×(1/2)×……×(1/2)×(1/2)=(1/2)^r，二分之一的r次方。

投擲n次時，隨時都有可能出現連續正反面，每一次擲銅板都可能是連續正反面的起始點，除了最後幾個投擲點以外。就像上面列出的結果（２），第一個投擲點是連續4次反面的起點，第17個投擲點是連續5次正面的起點。當然，第27個投擲點以後不能作為連續5次正反面的起點。因此，在投擲n次的情況裡，有n −r+1個投擲點可作為連續正反面的起點。

附帶一提，這裡隱含了n≥r的假設，因為討論n < r是沒有意義的。再考慮到你可能是擲出一串連續的正面，但也可能是擲出一串連續的反面，這兩種狀況都是我們要的，所以整個機率要乘上兩倍。最後得出「投擲n次銅板裡出現連續r次正反面的機率」是P=2×(n −r+1)×(1/2)^r。這個公式出乎意料地簡單。

如果把n=15、r=5代入，可以得到P=68.75%。在投擲15次銅板的情況裡，有將近七成的機率會出現連續5次正反面，這是很有趣的結論。如此說來，應該拿起銅板隨便丟都能丟出一串連續正反面，但在我的記憶中沒有出現過這樣的事。這麼高的機率不僅違反直覺，也顛覆了日常生活的經驗。

其實這個結論是錯的。

從兩個地方很快可以看出不合理。首先，當我們令P=1，可以解出n=r−1+2^(r−1)。反過來說，對於任何的r，都可以找到一個n使得P=1。例如當r=5，如果n=20，將之代入上面的機率公式就可以得到P=1。這表示只要擲銅板20次，一定會出現連續5次正反面。

這太詭異了。擲銅板是一種隨機過程，一個隨機過程怎麼會有「必然」的結果呢？如果你夠敏銳，應該要對這個推論感到十分驚訝，並相信箇中必有蹊翹。

更進一步，如果像一開始那樣擲銅板30次，出現連續5次正反面的機率會是多少？用該上面的公式可以算出P=1.65，這是一個超過100%的機率。我們知道機率一定是小於等於1，所謂的「百分之三百」只是一種誇大其辭的講法，沒有真實的意義。這是第二個不合理。

要直接證明這個公式錯誤也很簡單，用暴力法找出反例即可。這不會花太多時間，就擲銅板來說，擲3次的所有可能結果只有8種，擲4次的所有可能結果是16種。把這些狀況列出來，直接計算機率，就可以發現和公式給出的結果不符。

其實把上面的計算忘掉，用機率概論學到的基本方法老實去算，還是可以得到正確的機率公式。

我算出來是P=a/b，其中a=−1+2^(n−r+1)、b=2^(n−1)。這個結果稍微有點複雜，但還可以。這個公式不會有必然性結論，也不會給出超過1的機率，看起來好多了。而且用這個公式計算擲銅板30次、出現連續5次正反面的機率只有12.5%。挺低的，很合理。當然，你同樣可以舉一些n比較小的例子來驗證它的正確性，如果你擔心再被耍一次的話。

雖然這個教授的算法很聰明，也很簡單，可惜他漏掉了一些東西。問題出在各起始點所造成的連續正反面沒有被當成互斥事件。意思是說，第一個投擲點作為連續正反面起點的情況，與其他投擲點做為起點的情況有重疊，要避免重複計算。也就是說不能直接套用P(A∪B)=P(A)+P(B)，因為P(A∩B)不為零。

搞到最後白歡喜一場，半點神奇的事情也沒有發生，我還以為冒出了有趣的新發現。失落。

乾淨的慈善

最近讀到一個困境，值得深思。我把顧慮到的條件放進去，作為周遭現實的參照。

假設你是一個慈善機構的負責人，或是替換成宗教團體的主事者，甚至是位高權重的政府官員等等，都可以。不過在下面的情境中，我還是從慈善機構負責人的立場出發。

某天一位富商找上你，表明有意捐獻一筆錢作公益，約莫是一億。不過附帶有兩個條件。第一是這筆錢只能以貴單位的名義接收，他不會找其他任何人作捐獻。第二，貴單位必須針對這次的善行公開表揚，甚至在陸續發出的物資上註明捐獻人姓名。如果你願意接受這兩個條件，捐獻的數目也可以再商量。最後，富商甚至又補了一句：若是這一次慈善活動的效果不錯，他會考慮多做幾次。

聽到這裡，你頓時明瞭了來者的心思。這位富商素來以「良心換黃金」的作風馳騁商場，數十年打滾累積出不可見底的身家。你很快想到，這位富可敵國的老人什麼都不缺，惟獨在世人口中得不到幾句好話。他如今來打這份商量，不外是想把人生最後的缺口給補上，買一個慈善家的頭銜，搏一個傳世的美名。

多令人難以苟同。然而，你想到這些年來國人的生活並不安穩，天災人禍接二連三，除了每年固定來訪的颱風，最近一次大地震更造成慘重的傷亡。又想到一二十年來台灣經濟疲軟不振，只漲物價不漲薪水，越來越多家庭掉到了貧窮線下，人們的諸多困難一直都不是這個社會的福利制度所能概括。你想得越多，越為這片土地感到哀傷。

一億可以救太多人了，你心裡想收下這筆錢，但手上還在猶豫。

功利主義也許可以給你一個理由。只要最多人能夠得到最大的利益，只要能夠幫助人，讓一個富商賺點名聲、虛榮一下有何妨害？利大於弊如此明顯，何況富商早就聲名狼藉，不是捐點錢就能改變大家的觀感。

但這名富商的風評並非一兩天的事了，其實你也不太欣賞。尤其你的好友兼法律顧問最是嫉惡如仇，向來公事公辦、講究法理情，他不會願意看到富商得償所願的嘴臉，更不會允許自家人幫著富商沽名釣譽。

一時沒有結論，你決定先回家吃飯，順便問問老媽怎麼看。

跟媽咪聊完之後，你有了不一樣的想法。你知道一旦收下富商捐獻、公開表揚，必定會引發眾人議論，風波難平。你身為主事者，個人聲名事小，整個機構的信譽才是要緊。一個慈善機構若是失去了大眾的信任與好感，如何運作下去？再者，這家機構歷史悠久，諾大的基業和聲譽是多少前輩無私奉獻打拼下來的，你何德何能，讓這塊榮耀多年的招牌受到一點損傷？

你苦苦笑嘆，沒想到一家慈善機構也有盛名之累。

更嚴重的是，如果這種做法開了先例，等同昭告世人：就算過去有多少是是非非，只要有錢，都能夠一一洗脫。這難道是你想要傳達的訊息嗎？思忖至此，所有收錢的念頭算是封死了。不如洗洗睡吧。

今天你決定把捐獻的事放著擺爛，久無回應之後富商會知難而退。身為慈善機構負責人的你，認為軟釘子是比較恰當的拒絕方式。中午約了阿明吃飯，這樁怪事成了你們上好的談資，但是他卻給你完全相反的看法。

拒絕富商捐獻的一個後果，就是會被人家說你是假清高、冷酷無情，本來那麼多人能夠三餐溫飽的，被你一個念頭斷了生路。就算你不在乎這些批評，但是你的理想呢？你想到進入這家機構的初衷，你想到書上那些濟世助人的故事，如今只要委屈一下就可以幫助很多人。名利就像浮雲一樣，有什麼好顧忌的呢？

話說回來，你是不是覺得你的角色有點模糊了？你本來應該是一個慈善工作的執行人，怎麼現在反倒像是評斷是非善惡的法官。這是不是說，將來機構所面對的每一個人、每一筆錢都要先查清身家底細、來龍去脈，仔細衡量一番才決定要不要收？就算真的這麼做，標準又該怎麼訂定呢？而且，難道壞人不能做好事嗎？

站在人來人往的台北街頭，頭頂是艷陽當空、萬里無雲的好天氣。兜了一大圈，你還是心亂如麻，無法決定……

其實我也不知道怎麼辦。我在思考這個困境的時候一直希望找出第三條路，可惜沒有結果，常常我想這麼做的時候都不能成功。徒覺智商的蕭條。

也許不是每個問題都能有答案、都令人滿意，錯沒有出在任何人身上。每個生命每個人，總有他不能圓滿的承擔。